Vectores

Operaciones con vectores

Vector.

Un vector es un segmento de recta orientado en el espacio y se caracteriza por

•  su origen o punto de aplicación, O, y su extremo A ;

•  su dirección, la de la recta que lo contiene;

•  su sentido, el que indica la flecha;

•  su módulo, la longitud del segmento OA.

Suma y resta de vectores.

La suma o resta de vectores es otro vector

a + b = suma

que tiene por coordenadas la suma de las coordenadas de los dos vectores.

a + b = suma = (a1 + b1,a2 + b2)

Producto de un escalar por un vector.

El producto de un escalar, k,  por un vector r es otro vector, kr, de la misma dirección que r y cuyo sentido viene determinado por el signo de k. Si k = 0, el vector kr es el vector nulo.

Producto escalar de dos vectores.

Dados dos vectores a y b se llama producto escalar del vector a por el vector b (se lee a multiplicado escalar mente por b, o a escalar b ), al escalar fruto de la siguiente operación

a · b =  axbx+ayby.

Producto vectorial de dos vectores.

Dados dos vectores a y b , se llama producto vectorial de a por b o a x b (se lee a multiplicado vectorial mente por b ) a un vector p perpendicular al plano formado por los dos vectores (dirección del vector). El sentido de dicho vector es el de avance de un tornillo de rosca a derechas que girara del primer vector hacia el segundo por el camino más corto. El módulo del vector producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno de ángulo, θ, que forman (tomado desde a hasta b).

|p| =| a  x b| = a b sinθ

p= a  x b= a b sinθ  u

donde u es el vector unitario en la dirección perpendicular al plano formado por a y b.

Ejercicios

1. Calcular la distancia entre los puntos:

A(-1,0) y B(-2,4)

Formula:  

d(P,Q) = √(X2-X1)2 + (Y2-Y1)2

Solución

 d= √ [-2-(-1)]² + (4-0)²

d= √(-2+1)² + (4-0)²

d= √(-1)² + 4²

d= √1+16

d= √ 17  

2. Averiguar si están alineados los puntos: A (- 2, - 3), B(1, 0) y C(6, 5).

3. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB, de extremos A(3, 9) y B(-1, 5).